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www.649.net考研高数:如何复习极限中的“极限”

日期:2019-11-22编辑作者:教育考试

  极限是微积分或高数的基础,是贯穿高数的一条主线,比如极限的定义、极限的性质、导数的定义、定积分的定义、二重积分的定义等等,都是根据极限进行定义和推导的。在全国硕士研究生招生考试数学科目中,极限是每年必考的知识。那么就2015年数三的真题中极限的内容是如何考查的进行分析。

  主持人:各位网友,大家好,今天是9月14号,欢迎大家来到海天直播间,2013年的考研[微博]大纲已经出炉了,2013年的数学考研大纲到底有什么变化呢?今天我们有幸请到海天的数学名师方浩老师来给我们做数学考研大纲的解读。方老师,您好。

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www.649.net 22015考研[微博]数学三真题解析之极限

  方浩:主持人好,各位网友大家下午好。

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  • 2015年考研国家线已公布
  • 34校2015考研复试线已公布
  • 2015全国各地高校调剂信息平台
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  • 2015年考研考生发布调剂意向区

  极限在数三中占有18分的分值,这三题都是基础类的题目,难度不大,是学生应该拿分的题目。在极限中,极限的定义、极限的性质、不定式极限的计算以及无穷小的相关性质与计算是历年中考[微博]试的高频考点,也是必考考点,但是所出现的题目都不难,这块是同学们应该拿分的题目。希望2016的同学们,学习极限的内容时,一定要对极限的内容熟练掌握。

  主持人:方老师,请您给我们介绍一下2013年数学考研大纲相比较以往的考研大纲有哪些变化呢?

  相信大家已经把高数的复习已经结束,开启概率和线代的复习,不知道对自己高数的复习是否满意,是否达到了我们的“三基本”呢?接下来,跨考教育[微博]数学教研室佟庆英就和大家梳理一下我们做过的极限。

www.649.net,  文章来源:文都教育

  方浩:好。今天上午这份2013年入学考试的数学大[微博]纲我已经拿到了,相比较2012年,2011年,2010年,2009年这几年的大纲而言,我们数学这个科目没有任何变化,包括考试内容、考试要求、考试范围、考试科目,以及各科的分值比根本没有出现任何的变化,延续了我们考研数学这个科目考试大纲稳定的这样一个一贯的特点。所以,我们的同学按照之前的复习规划和复习进度来进行复习就可以。

  说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算,每年考研[微博]真题必出,无论是数一数二数三还是经济类数学,可以出选择题也可以出填空题,更可以出解答题,题目类型不同,分值也不同,4分或者10分,极限的思想也就更是重要之重了,原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。下面,我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。

  主持人:刚才方老师说了数学的考试大纲是没有任何变化的,所以,大家这块就不用担心了。现在已经到了9月中旬,离考试已经很近了,接下来我们应该怎么复习,数学的各个模块要怎么安排呢?请方老师介绍一下。

  第一,极限的定义。理解数列极限和函数极限的定义,最好记住其定义。

  方浩:我们今年的考试出现一个明显的变化就是考试时间提前了。所以,接下来到考试的时间已经非常紧张了,在这里我就三个方面关于数学的复习和同学们做一下探讨。

  第二,极限的性质。唯一性,有界性,保号性和保不等式性要理解,重点理解保号性和保不等式性,在考研真题里面经常考查,而性质的本身并不难理解,关键是在做题目的时候怎么能想到,所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性,例如:题目中有一点的导数大于零或者小于零,或者给定义数值,可以根据这个数值大于零或小于零,像这样的情况,就可以写出这一点的导数定义,利用极限的保号性,得出相应的结论,切记要根据题目要求来判断是否需要,但首先要有这样的思路,希望同学们在做题时多去总结。

  第一是复习的时间进度,因为今年的考试提前了,所以,我希望我们的同学,今天是9月14号,大家要在10月中旬之前,也就是一个月的时间之内把我们暑期强化班讲到的高数、线代、概率三个科目的各大考点,各大要点过一遍,一定要做到心中有数,关于这些考点的概念是什么,性质是什么,方法是什么,考试的要求、分值,以及出题的形式一定要牢牢的掌握。

  第三,极限的计算。这一部分是重中之重,这也是三大计算中的第一大计算,每年必考的题目,所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法,比如:四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理,除此之外还要泰勒展开,利用定积分定义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展,比如:四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限,是无穷比无穷形式的,分别抓分子和分母的最高次计算结果即可),等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用,加减法中不能直接应用,如需应用必须加附加条件,计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式,进一步说就是第一要熟练掌握基本公式,第二要知道怎么推广,也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换,并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零,满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式,否则不能。

  从10月中旬到11月中旬应该做一定的习题训练。我推荐大家真题一定要做三遍,因为数学考试大纲非常稳定,考试难点、重点每年都差不多,希望大家一定要重视真题,起码要做三遍以上,我们考试的时候才能真正的有的放矢,发现考试里哪些点该考,哪些点怎么考,解答题还是选择题,特例法还是直接计算法,这个都是有法可依的。

  下面给出推广后公式:f(x)→0,f(x)~sinf(x)~arcsinf(x)~tanf(x)~arctanf(x)~expf(x)-1~ln(f(x) 1),1-cosf(x)~0.5(f(x))2,(1 f(x))a~af(x)。

  从11月中旬一直到考试前,我希望大家数学最少做十套模拟题,这一个半月的时间这是第一个任务,做十套模拟题,数学这个科目存在计算量比较大,考点比较多的特点。所以,三个小时的考试,我们以前可能很多同学都没有经历过,三个小时的考试到底能不能做完这23道题目这也是一个巨大的问号。所以,大家平时一定要做充足的题型训练,做十套模拟题。

  第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式,比如:公式中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。希望同学们在做题目的时候多加注意,熟能生巧。

  怎么做呢?上午集中三个小时的时间,大家拿到一套题目,拿一张白纸,就跟考试一样,在草稿纸上打草稿,在答题纸上写标准的解题步骤,解题步骤的填写考试中也是要耗费时间的。所以,一定要按照考试的模式和规律做这十套模拟题。

  极限的第三种方法就是洛必达法则。首先,要想在极限中使用洛必达法则就必须要满足洛必达法则,说到这里有很多同学会打个问号,什么法则,不就是上下同时求导?其实不尽然。

  这部分完成以后,希望大家要进入总结阶段,一定要总结。我们在暑期强化班包括春季基础班讲了大量的典型题,这些内容他们前后之间的联系是什么,区别是什么,各自的要点是什么,大家一定要进入总结阶段,把自己的笔记本温故而知新,反复的看。这个阶段一直持续到考研之前,这是我们三个部分。第一个部分要温习暑期强化班的重点,第二个内容做真题,第三个内容不仅要做模拟题,还要总结。这是从时间的规划上。

  洛必达有两种,无穷比无穷,零比零,分趋近一点和趋近于无穷两种情况,以趋近于一点来说明法则条件,

  从考试的科目而言,数一和数二、数三这三个科目,数一和数三考高数、线代、概述三个课程,数二只考高数和线代。数二对高数的要求还是比较高的,高等数学占116分,首先我希望考数二的同学一定要把高数的前三章一二三,高数上里的基本概念完全掌握,比如有界性、单调性、极值点、拐点这些概念面面俱到。高数的下册,二重积分,多元函数的基本理论,主要是重视计算,对于数二而言,高数上重概念,高数下重计算。

  条件一:零比零或者无穷比无穷(0/0,∞/∞);条件二:趋近于这一点的去心领域内可导,且分母导数不为零;条件三:分子导数比分母导数的极限存在或者为无穷,则原极限等于导数比的极限。

  线性代数这门课程总体是比较简单的,对于数二而言,线性代数和数一数三基本要求是一样的,不会有太大的区别。

  在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件,缺一不可,特别要注意条件三,导数比的极限一定是存在或者为无穷,不能把无穷认为是极限不存在,因为极限不存在还包括极限不存在也不为无穷这种情况,比如:x趋近于零,sin(1/x)的极限不存在也不为无穷。每次使用都必须验证三条件是否同时满足。

  数一一定要重视高数下册多元函数的部分,多元函数的极值,条件极值、无条件极值、最值这个非常重要,还有关于多元函数可微的理论,以及无穷极数敛散性的判断,以及最后一个内容是利用高斯公式计算曲面积分,格林公式计算曲线积分,这个内容是每年必考,这是一定不会少的。所以,高数的下册是数一的重中之重。上册我们主要还是注意一些基本的概念,基本理论和基本方法。这里我尤其要强调拉格朗日中值定理,这个2013年一定会出10分的解答题,希望大家打起精神,坚持最后的几个月。

  再来看看重要极限,重要极限有两个,一个是x趋近于零时,sinx/x趋近于零,另一个是x趋近于零时,(1 x)1/x趋近于e,或者写成x趋近于无穷,(1 1/x)x趋近于e(1∞形式),总结起来就是(1 无穷小量)无穷小量的倒数,所以要记住重要极限的特点,并可以将其推广,即把x换成f(x),在f(x)趋近零,sinf(x)/f(x)趋近于零,(1 f(x))1/f(x)趋近于e,或f(x)趋近无穷,(1 1/f(x))f(x)趋近于e,还要注意当给你幂指函数的极限计算,先要判断他是不是1∞形式,如果是,就可以考虑利用重要极限解决,凑出相应的形式就可以得出结论。

  数三总体而言和数二的区别增加了概率论和数理统计,我认为数三高数上册主要是重视概念,重视一些基本的概念,基本的理论,高数的下册其实我们计算性相对而言要求低一点点,希望数三的同学高数下册还是掌握好二重积分计算的两种情况,还有多元函数的一些基本理论,可微性的概念,尤其是可微的必要条件、充分条件、判断方法和性质,这个一定要牢牢掌握。

  这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞,0·∞,1∞,00,∞∞),这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通过通分、提取或者代换将其转化,0·∞可以将0或者∞放在分母上,以实现转化,1∞,00,∞∞利用对数恒等变化来实现转化,其中1∞还可以利用重要极限计算。

  关于无穷级数这个方法,数三轻计算重概念,主要是注重敛散性的判断,正项级数,还有交错级数,一般项级数,它的经典的理论。

  综上所述,等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广,可以将任意变形公式转化为标准形式,并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。洛必达法则处理七种未定式,灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞,计算时注意满足洛必达法则的三个条件,希望同学们可以掌握基础,灵活地解决不同类型的极限。

  关于概率论与数理统计这门课程,数一和数三考察概率论与数理统计,这门课程是整个考研数学里最简单的一门课程,我相信不会存在大的问题,我认为主要的重点有这么几个方面。第二章里分布函数的概念,概率密度的概念、性质、判断方法,还有第三章二维离散性随机变量,比如它的边缘分布、条件分布、独立性。二维连续性随机变量,条件分布、边缘分布,独立性,这两个内容是每年考试必考的,最少一道解答题,多的时候两道。

  第四章关于数字特征希望大家重点掌握七个常见分布它的期望和方差,这里我重点说一下0-1分布、二项分布、几何分布、正态分布,还有区间上的均匀分布,还有泊淞分布、指数分布,这七个分布的期望和方差大家一定要抄在笔记本上,一定要记,这是这一章最核心的内容。还有一个重要的内容是相关系数的性质,相关系数什么时候是为正,什么时候为负,正负对应什么性质,这个内容希望大家重视一下。

  最后是数理统计部分两个重要的考点,一个是判断什么样的变量服从卡方分布、T分布、F分布,我们有一些非常技巧性的方法,大家温故一下暑期强化班的内容和笔记。

  数理统计部分主要是数一考最大自然估计,以及矩估计,数三的同学做一个相应的了解就可以了。

  假设检验和区间估计这两个内容我认为不太可能在2013年的考试中出现,大家只需要了解一下就可以。

  线性代数主要是三个重点,一个向量组的相关性和无关性,以及向量组的秩,向量组和矩阵的秩他们之间的关系。到我们这个阶段,一定要把这几点衔接起来,这三个内容其实是捆绑在一起的,线性无关、线性相关跟秩之间的关系,向量的秩和矩阵的秩又有关系,这个内容大家一定要衔接起来。

  第四章关于方程组还是希望大家掌握非齐次方程组的解的判断、以及解的通解,求解方法,以及和它的导出组之间的关系。

  第五章节线性代数最主要的一章,实对称矩阵对角化无论如何都要掌握,三种情况,三个特征值,互不相等,这是第一种情况。两个相等和第三个不等,特征向量相互正交一种情况,不正交要做正交化的一种情况,这个每年考11分,这是必考的内容。

  整体上从难度来说,高数压力最大,概率论最简单,线性代数居中,这是关于这三个科目上大家的分配。

  第三个还有到了临考之前,我们数学不同于政治、英语,存在一个考前综合症的问题,还多同学在我们暑期强化班,包括秋季的复杂阶段做了大量的题目,看了大量的参考书,也做过诸多的练习,但是到考试之前依然会出现一些概念上的模糊,概念上的不清楚,方法上的遗忘。所以,大家一定要注意到这个阶段每天除了复习看书以外,一定要温习,一定要总结,你比如我举个最简单的例子,高等数学第一章求极限有三个方法,一个是等价无穷小的替换,一个洛必达法则,还有泰勒公式,洛必达大法则一般先处理,泰勒公式分子分母要展开到同一阶数,而且确定它的阶段,等价无穷小替换只能用于整体的乘除,不可用于局部的加减。第二章三大中值定理的区别和联系,罗尔定理的条件是什么,结论是什么,拉格朗日中值定理的结论和运用,柯西定理的结论和应用,这三大定理大家一定要掌握。所以,考试之前不仅是做题看书的过程,还要一直总结,一直反思,如果我们到考试之前能把这三者有机的结合在一起,数学就会取得一个非常好的成绩。

  主持人:方老师给我们做了非常深入全面的分析,相信大家都已经清楚了到底该怎么对数学进行分析复习,感谢方老师给我们带来的2013年的数学考研大纲的解读,以及比较好的复习的方法,也祝广大学子金榜题名,谢谢。

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